Filtro De Velocidad Media Móvil

El filtro de CIC, anteriormente oscuro, es ahora vital para muchas tareas y equipos de comunicaciones inalámbricas de alto volumen. El uso de filtros de CIC puede reducir costos, mejorar la confiabilidad y ayudar al rendimiento. Heres una cartilla para empezar. Los filtros digitales en cascada de integrador-peine (CIC) son implementaciones eficientes desde el punto de vista computacional de filtros de paso bajo de banda estrecha y están a menudo incorporados en implementaciones de hardware de decimación e interpolación en modernos sistemas de comunicaciones. Los filtros de CIC fueron introducidos a la comunidad de procesamiento de señales, por Eugene Hogenauer, hace más de dos décadas, pero sus posibilidades de aplicación han crecido en los últimos años. 1 Las mejoras en la tecnología de chip, el aumento en el uso de las técnicas de filtrado polifásico, los avances en las implementaciones de convertidores delta-sigma y el crecimiento significativo en las comunicaciones inalámbricas han despertado mucho interés en los filtros de CIC. Si bien el comportamiento y la implementación de estos filtros no es complicado, su cobertura ha sido escasa en la literatura de sistemas embebidos. Este artículo intenta aumentar el cuerpo de la literatura para los ingenieros de sistemas embebidos. Después de describir algunas aplicaciones para los filtros de CIC, Ill presentará su estructura y comportamiento, presentará el desempeño del dominio de frecuencia de los filtros de CIC y discutirá varios aspectos prácticos importantes en la construcción de estos filtros. Aplicaciones de filtro CIC Los filtros CIC son adecuados para el filtrado antialiasing antes de la diezmación (reducción de la frecuencia de muestreo), como se muestra en la Figura 1a y para el filtrado antiimagen para señales interpoladas (aumento de la frecuencia de muestreo) como en la Figura 1b. Ambas aplicaciones están asociadas con filtrado de tasa de datos muy alto, tales como modulación en cuadratura de hardware y demodulación en sistemas inalámbricos modernos y convertidores A / D y D / A delta-sigma. Debido a que sus sobres de respuesta de magnitud de frecuencia son sin (x) / x, los filtros de CIC normalmente son seguidos o precedidos por filtros FIR de línea de retardo de paso lineal de paso lineal de mayor rendimiento cuyas tareas son compensar los filtros CIC no - banda de paso plana. Esa arquitectura de filtro en cascada tiene valiosos beneficios. Por ejemplo, con la decimación, puede reducir en gran medida la complejidad computacional del filtro de paso bajo de banda estrecha en comparación con si youd utilizó un solo filtro de respuesta de impulso finito (FIR) de paso bajo. Además, el filtro FIR de seguimiento funciona a velocidades de reloj reducidas minimizando el consumo de energía en aplicaciones de hardware de alta velocidad. Una ventaja crucial en el uso de filtros CIC, y una característica que los hace populares en los dispositivos de hardware, es que no requieren multiplicación. La aritmética necesaria para implementar estos filtros digitales es estrictamente adiciones y sustracciones solamente. Dicho esto, vamos a ver cómo funcionan los filtros CIC. Los filtros CIC de filtro de acumulación recursiva se originan de la noción de un filtro recursivo de suma corriente. Que es en sí misma una forma eficiente de un medidor móvil no recursivo. Recuerde el proceso de media móvil de punto D estándar en la Figura 2a. Aquí vemos que D -1 sumaciones (más una multiplicar por 1 / D) son necesarias para calcular la salida de promedio y (n). La salida en tiempo de los filtros de media móvil D - point se expresa como: donde n es nuestro índice del dominio del tiempo. La expresión de dominio z para este averager móvil es: mientras que su función de transferencia de z-dominio H (z) es: Proporciono estas ecuaciones para no complicar las cosas, sino porque son útiles. La ecuación 1 nos dice cómo construir un medidor móvil, y la ecuación 3 está en la forma utilizada por el software de procesamiento de señales comerciales para modelar el comportamiento del dominio de frecuencia del medidor móvil. El siguiente paso en nuestro camino hacia la comprensión de los filtros CIC es considerar una forma equivalente del averager móvil, el filtro recursivo de la suma corriente representado en la Figura 2b. Aquí vemos que se añade la muestra de entrada actual x (n), y la muestra de entrada más antigua x (n - D) se resta de la media de salida anterior y (n - 1). Se llama recursiva porque tiene retroalimentación. Cada muestra de salida de filtro se retiene y se utiliza para calcular el siguiente valor de salida. La ecuación de diferencia de los filtros de la suma corriente es: teniendo la función de transferencia de H (z) de az de: Utilizamos la misma variable de H (z) para las funciones de transferencia del filtro de media móvil y el filtro de suma de carrera recursiva porque su Funciones de transferencia son iguales entre sí Su verdadero. La ecuación 3 es la expresión no recursiva y la ecuación 5 es la expresión recursiva para un medidor de punto D. La prueba matemática de esto se puede encontrar en mi libro sobre procesamiento de señal digital, pero en breve Ill demostrará que la equivalencia con un ejemplo. 2 Heres por qué nos preocupamos por los filtros recursive corriente-suma: el estándar promedio móvil en la Figura 2a debe realizar D -1 adiciones por muestra de salida. El filtro recursivo de suma corriente tiene la ventaja de que sólo se requiere una suma y una suma por muestra de salida, independientemente de la longitud de retardo D. Esta eficiencia computacional hace que el filtro recursivo de corriente-suma sea atractivo en muchas aplicaciones que buscan la reducción del ruido a través del promedio. A continuación veremos cómo un filtro CIC es, en sí mismo, un filtro recursivo de suma corriente. CIC si se condensan la representación de la línea de retardo y se ignora la escala 1 / D de la figura 2b se obtiene la forma clásica de un filtro CIC de primer orden, cuya estructura en cascada se muestra en la figura 2c. La porción de feedforward del filtro de CIC se denomina sección de peine, cuyo retardo diferencial es D. Mientras que la sección de retroalimentación se llama normalmente un integrador. La etapa de peine resta una muestra de entrada retardada de la muestra de entrada actual, y el integrador es simplemente un acumulador. La ecuación de diferencia de filtros CIC es: y su función de transferencia de dominio z es: Para ver por qué el filtro CIC es de interés, primero examinamos su comportamiento en el dominio del tiempo, para D 5, mostrado en la Figura 3. Si una unidad de impulso - , Se aplicó una muestra de valor unitario seguida de muchas muestras de valor cero a la etapa de peine, que la salida de etapas es como se muestra en la Figura 3a. Ahora piense, ¿cuál sería la salida del integrador si su entrada era la respuesta de impulso de las etapas de peine El impulso positivo inicial del filtro de peine inicia la salida de todos los integradores, como en la figura 3b. A continuación, las muestras D más tarde, el impulso negativo de la etapa de peine llega al integrador para poner a cero todas las muestras de salida del filtro CIC adicionales. La cuestión clave es que la respuesta unidad-impulso combinada del filtro CIC, que es una secuencia rectangular, es idéntica a las respuestas de impulso unitario de un filtro de media móvil y el filtro recursivo de suma corriente. (Los medidores de desplazamiento, los filtros de suma de ejecución recursiva y los filtros de CIC son cercanos, tienen las mismas posiciones de polo de z-dominio / cero, sus respuestas de magnitud de frecuencia tienen formas idénticas, sus respuestas de fase son idénticas y sus funciones de transferencia difieren solamente Un factor de escala constante.) Si entiende el comportamiento del dominio del tiempo de un averager móvil, entonces ahora entiende el comportamiento del dominio del tiempo del filtro CIC en la Figura 2c. La magnitud de frecuencia y la respuesta de fase lineal de un filtro D 5 CIC se muestra en la Figura 4a donde la frecuencia x192 s es la frecuencia de muestreo de la señal de entrada en Hz. Podemos obtener una expresión para la respuesta de frecuencia de los filtros de CIC, evaluando la función de transferencia de la Ecuación 7s cic (z) en el círculo de la unidad z-planos, estableciendo z e j 2 x3C0x192. Rendimiento: Utilizando Eulers identidad 2 j sin (x3B1) e jx3B1 - e jx3B1. Podemos escribir: Si ignoramos el factor de fase en la Ecuación 9, esa relación de los términos sin () puede ser aproximada por una función sin (x) / x. Esto significa que la respuesta de magnitud de frecuencia de filtros de CIC es aproximadamente igual a una función sin (x) / x centrada en 0 Hz como vemos en la Figura 4a. (Por eso los filtros de CIC a veces se llaman filtros sinc). Los diseñadores de filtros digitales les gusta ver los patrones de z-plano / cero, por lo que proporcionamos las características de plano-z de un filtro D 5 CIC en la Figura 4c, donde el filtro de peine Produce zeros D, igualmente espaciados alrededor del círculo unitario, y el integrador produce un solo polo que cancela el cero en z 1. Cada uno de los ceros de los peines, siendo una raíz D de 1, se localiza en z (m) ej 2 x3C0m / D. Donde m 0, 1, 2. D -1, que corresponde a una magnitud nula en la Figura 4a. La situación normalmente riesgosa de tener un polo de filtro directamente en el círculo unitario no tiene que preocuparnos aquí porque no hay error de cuantificación de coeficiente en nuestra función de transferencia de H cic (z). Los coeficientes de filtro CIC son unos y pueden representarse con perfecta precisión con formatos de números de punto fijo. Aunque los filtros recursivos, felizmente CIC están garantizados estables, de fase lineal se muestra en la Figura 4b, y tienen respuestas de impulso de longitud finita. A 0Hz (DC) la ganancia de un filtro CIC es igual al retardo D del filtro de peine. Este hecho, cuya derivación está disponible, será importante para nosotros cuando realmente implementamos un filtro CIC en hardware. 2 Figura 5: Filtros de CIC de una sola etapa utilizados en la decimación y la interpolación Ver imagen de tamaño completo Nuevamente, los filtros de CIC se utilizan principalmente para el filtrado antialiasing antes de la diezmación y para el filtrado antiimagen para señales interpoladas. Teniendo en cuenta estas nociones, intercambiamos el orden de la figura 2cs peine y el integrador x2014 se permitió hacerlo porque esas operaciones son lineales x2014 e incluyen la diezmación por un factor de cambio de tasa de muestreo R en la Figura 5a. (Es posible que desee probar que la respuesta de impulso unitario de la combinación integrador / peine antes del cambio de frecuencia de muestreo en la Figura 5a es igual a la de la Figura 3c). En la mayoría de las aplicaciones de filtro CIC, el cambio de velocidad R es igual a El retraso diferencial D de los peines. Pero bien mantenerlos como parámetros de diseño por separado por ahora. Figura 6: Respuesta de magnitud de un filtro de CIC de primer orden, D 8, diezmando: antes de la supresión de decimación después de la decimación de R 8 Ver la imagen de tamaño completo La operación de decimación x2193 R significa descartar todas las muestras R, De x192 s, x192 s, en / R. Para investigar un CIC filtran el comportamiento del dominio de la frecuencia con más detalle, la Figura 6a muestra la respuesta de magnitud de frecuencia de un filtro D 8 CIC antes de la diezmación. La banda espectral, de ancho B. Centrado a 0Hz es la banda de paso deseada del filtro. Un aspecto clave de los filtros de CIC es el plegamiento espectral que tiene lugar debido a la diezmación. Esas bandas espectrales con sombreado en B centradas alrededor de múltiplos de x192 s, en / R en la Figura 6a se alias directamente a nuestra banda de paso deseada después de la diezmación por R8 como se muestra en la Figura 6b. Observe cómo el componente espectral aliado más grande, en este ejemplo, es aproximadamente 16dB por debajo del pico de la banda de interés. Por supuesto, los niveles de potencia de alias dependen del ancho de banda B x2014 cuanto menor sea B, menor será la energía de alias después de la diezmación. La figura 5b muestra un filtro de CIC utilizado para la interpolación, en el que el símbolo x2191 R significa insertar R -1 ceros entre cada x (n ), Obteniéndose ay (n) la tasa de muestreo de salida de x192 s, salida Rx192 s, in. La Figura 7a muestra un espectro de banda de base arbitrario, con sus replicaciones espectrales, de una señal aplicada al filtro CIC de interpolación D R 8 de la Figura 5b. El espectro de salida de los filtros en la figura 7b muestra cómo el filtrado imperfecto da lugar a las imágenes espectrales no deseadas. Después de la interpolación, las imágenes no deseadas del espectro de la banda B de ancho de banda residen en los centros nulos, situados en múltiplos enteros de x192 s, hacia fuera / R. Si seguimos el filtro de CIC con un filtro FIR de paso rápido tradicional, con una línea de paso de banda baja, cuya banda de parada incluye la primera banda de imagen, se puede lograr un rechazo de imagen relativamente alto. Mejora de la atenuación del CIC El método más común para mejorar el anti-aliasing del filtro CIC y la atenuación del rechazo de la imagen es incrementando el orden M de El filtro CIC utilizando múltiples etapas. La Figura 8 muestra la estructura y la respuesta de magnitud de frecuencia de un filtro decimando CIC de 3er orden (M3). Observe el aumento de la atenuación en x192 s, out / R en la figura 8b en comparación con el primer CIC filtro en la figura 6a. Debido a que las etapas de M 3 CIC están en cascada, la respuesta de magnitud de frecuencia general será el producto de sus respuestas individuales o: El precio que pagamos por la atenuación mejorada del anti-alias es adicionadores de hardware adicionales y aumentó el filtrado de la banda de paso del filtro CIC. Una penalización adicional del aumento del orden del filtro viene de la ganancia del filtro, que es exponencial con el orden. Debido a que los filtros CIC generalmente deben trabajar con precisión completa para permanecer estable, el número de bits en los sumadores es M log 2 (D), lo que significa una penalización de anchura de palabra de datos grande para filtros de orden superior. Aún así, esta implementación en múltiples etapas es común en circuitos integrados comerciales, en los que un filtro CIC de orden M a menudo se denomina filtro sinc M. Creación de un filtro CIC En los filtros CIC, la sección de peine puede preceder o seguir la sección del integrador. No obstante, es razonable poner la sección de peine sobre el lado del filtro funcionando a la velocidad de muestreo inferior para reducir los requisitos de almacenamiento en el retardo. Cambiando los filtros de peine de la Figura 5 con las operaciones de cambio de velocidad resulta en la implementación más común de los filtros de CIC, como se muestra en la Figura 9. Observe que la sección de peine de filtros de decimación tiene ahora una longitud de retardo diferencial de N D / R. Esto se debe a que un retardo de la muestra N después de la diezmación por R es equivalente a un retardo de la muestra D antes de la diezmación por R. Del mismo modo para el filtro de interpolación un retardo de la muestra N antes de la interpolación por R es equivalente a un retardo de la muestra D después de la interpolación por R. Esas configuraciones de la Figura 9 proporcionan dos beneficios principales: en primer lugar, el nuevo retardo diferencial de las secciones de peine se reduce a N D / R reduciendo los requisitos de almacenamiento de datos en segundo lugar, la sección de peine funciona ahora a una velocidad de reloj reducida. Ambos efectos reducen el consumo de energía del hardware. Figura 10: Respuestas del filtro de decimación de CIC: para varios valores de retardo diferencial N. Cuando R8 para dos factores de decimación cuando N 2 Ver imagen a tamaño completo El parámetro de diseño de retardo diferencial de secciones de peine N es típicamente 1 ó 2 para proporciones altas de frecuencia de muestreo como se usa a menudo en convertidores de subida / bajada. N establece efectivamente el número de nulos en la respuesta de frecuencia de un filtro de decimación, como se muestra en la figura 10a. Una característica importante de un decimador de CIC es que la forma de la respuesta del filtro cambia muy poco, como se muestra en la figura 10b, como una función de la razón de decimación. Para valores de R mayores que aproximadamente 16, el cambio en la forma del filtro es despreciable. Esto permite utilizar el mismo filtro FIR de compensación para los sistemas de relación de decimación variable. El filtro CIC sufre de desbordamiento de registro debido a la realimentación de unidad en cada etapa del integrador. El desbordamiento no tiene ninguna consecuencia siempre y cuando se cumplan las dos condiciones siguientes: el rango del sistema numérico es mayor o igual al valor máximo esperado en la salida y el filtro se implementa con aritmética de dos complementos (no saturante). Debido a que un filtro CIC de primer orden tiene una ganancia de D NR a 0 Hz (DC), M en cascada CIC filtros de decimación tienen una ganancia neta de (NR) M. Cada integrador adicional debe agregar otro NR bits de ancho para las etapas. La interpolación de los filtros de CIC tiene ceros insertados entre las muestras de entrada reduciendo su ganancia en un factor de 1 / R para tener en cuenta las muestras de valor cero, por lo que la ganancia neta de un filtro CIC de interpolación es (NR) M / R. Debido a que el filtro debe utilizar aritmética entera, los anchos de palabra en cada etapa en el filtro deben ser lo suficientemente anchos para acomodar la señal máxima (entrada de escala completa veces la ganancia) en esa etapa. Aunque la ganancia de un filtro de decimación de orden M-orden CIC es (NR) M integradores individuales pueden experimentar el desbordamiento. (Su ganancia es infinita en DC). Como tal, el uso de la aritmética de dos complementos resuelve esta situación de desbordamiento tan pronto como la anchura de palabra del integrador acomoda la diferencia máxima entre dos muestras sucesivas (en otras palabras, la diferencia no causa más de Un único desbordamiento). Utilizando el formato binario de complemento de dos, con su propiedad de envolvente modular, el filtro de peine de seguimiento calculará adecuadamente la diferencia correcta entre dos muestras sucesivas de salida del integrador. Para la interpolación, el crecimiento en tamaño de palabra es de un bit por etapa de filtro de peine y se debe evitar el desbordamiento para que los integradores se acumulen correctamente. Por lo tanto, debemos acomodar un bit extra de crecimiento de la palabra de datos en cada etapa del peine para la interpolación. Existe cierta flexibilidad en el descarte de algunos de los bits menos significativos (LSB) dentro de las etapas de un filtro CIC, a expensas del ruido añadido a la salida de los filtros. Los efectos específicos de esta eliminación LSB son, sin embargo, un tema complicado que puede aprender más sobre el tema leyendo el artículo de Hogenauers. 1 Mientras que la discusión anterior se centró en los filtros de CIC cableados, estos filtros también pueden implementarse con chips de DSP de punto fijo programables. Aunque estos chips tienen trayectorias de datos inflexibles y anchos de palabra, el filtrado de CIC puede ser ventajoso para cambios altos en la frecuencia de muestreo. Anchos de palabra grandes se pueden acomodar con adiciones de multiword a expensas de instrucciones adicionales. Aún así, para los grandes factores de cambio de la tasa de muestreo, la carga de trabajo computacional por muestra de salida, en chips de DSP de punto fijo, puede ser pequeña. Filtros de compensación En aplicaciones típicas de filtrado de decimación / interpolación queremos una banda de paso razonablemente plana y un rendimiento de filtro de región de transición estrecho. Estas propiedades deseables no son proporcionadas por los filtros de CIC por sí solos, con sus ganancias de banda de paso pendientes y regiones de transición amplias. Aligeramos este problema, por ejemplo, siguiendo el filtro CIC con un filtro FIR no re - currente de compensación, como en la figura 1a, para reducir el ancho de banda de salida y aplanar la ganancia de banda de paso. La compensación FIR filtra la respuesta de magnitud de frecuencia es idealmente una versión invertida de la respuesta de banda de paso del filtro CIC similar a la mostrada por el Curva discontinua en la Figura 11a para un filtro FIR simple de tres clavijas cuyos coeficientes son -1/16, 9/8, -1/16. Con la curva de puntos que representa la pendiente de banda de paso no compensada de un filtro R 8 CIC de primer orden, la curva sólida representa la respuesta compensada de los filtros en cascada. Si el ancho de banda pasivo o la orden de filtro CIC aumenta, la corrección se hace mayor, requiriendo más compensación de los golpes del filtro FIR. Un ejemplo de esta situación se muestra en la Figura 11b, donde la curva discontinua representa la pendiente de la banda de paso de un filtro R 8 CIC de tercer orden y la curva discontinua, tomando la forma de x / sen (x) 3, es la respuesta de un 15 Que tiene los coeficientes -1, 4, -16, 32, -64, 136, -352, 1312, -352, 136, -64, 32, -16, 4, -1. Una corrección de banda ancha también significa que las señales cerca de x192 s, out / 2 están atenuadas con el filtro CIC y luego deben ser amplificadas en el filtro de corrección, añadiendo ruido. Como tal, los profesionales a menudo limitan el ancho de banda de paso del filtro FIR de compensación a aproximadamente 1/4 de la frecuencia del primer nulo en la respuesta del filtro CIC. Las curvas discontinuas de la Figura 11 representan las respuestas de magnitud de frecuencia de los filtros FIR de compensación dentro de los cuales no tiene lugar ningún cambio en la velocidad de muestreo. (Las tasas de muestreo de entradas y salidas de los filtros FIR son iguales a los x192 s, tasa de salida de salida del filtro CIC de diezmado.) Si un filtro de compensación FIR estuviera diseñado para proporcionar una decimación adicional por dos, su respuesta de magnitud de frecuencia sería similar a la En la Figura 12, donde gts, in es la tasa de muestreo de entrada de filtros de compensación. Figura 12: Respuesta de magnitud de frecuencia de un filtro FIR de compensación de decimado por 2 Ver la imagen de tamaño completo Técnicas avanzadas Aquí está la línea de fondo de nuestra discusión de filtro CIC: un filtro CIC de diezmado es simplemente una implementación recursiva muy eficiente de una media móvil Filtro, con grifos NR, cuya salida es diezmada por R. Del mismo modo, el filtro CIC de interpolación es la inserción de R -1 muestras cero entre cada muestra de entrada seguida por un filtro de media móvil NR - tap que funciona a la velocidad de muestreo de salida x192 s, fuera. Las implementaciones en cascada en la Figura 1 dan como resultado que las cargas de trabajo computacionales totales son mucho menores que el uso de un único filtro FIR solo para una alta decimación e interpolación del cambio de la tasa de muestreo. Las estructuras de filtro CIC están diseñadas para maximizar la cantidad de procesamiento de baja tasa de muestreo para minimizar el consumo de energía en aplicaciones de hardware de alta velocidad. Una vez más, los filtros CIC no requieren multiplicación, su aritmética es estrictamente suma y resta. Su desempeño nos permite afirmar que, técnicamente hablando, los filtros de CIC son máquinas de filtración magros, significativas. En conclusión, hay maneras de construir filtros CIC no recursivos que alivian el problema de crecimiento de ancho de palabra de los filtros recursivos tradicionales de CIC. Las arquitecturas de filtros CIC avanzadas se describen en mi libro Understanding Digital Signal Processing, 2E. 2 Richard Lyons es ingeniero de sistemas de consultoría y profesor de Besser Associates en Mountain View, Ca. Es autor de Understanding Digital Signal Processing 2 / E y editor asociado de IEEE Signal Processing Magazine donde creó y edita la columna Trucos de amplificadores de consejos DSP. Puede comunicarse con él en r. lyonsieee. org. Hogenauer, Eugene. Una Clase Económica de Filtros Digitales para Decimation e Interpolation, IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing. Vol. ASSP-29, págs. 155-162, abril de 1981. Lyons, Richard, Understanding Digital Signal Processing, 2nd Ed. Como otros han mencionado, debes considerar un filtro IIR (respuesta de impulso infinito) en lugar del filtro FIR (respuesta de impulso finito) que estás usando ahora. Hay más, pero a primera vista los filtros FIR se implementan como convoluciones explícitas y filtros IIR con ecuaciones. El filtro IIR particular que uso mucho en los microcontroladores es un filtro de paso simple de un solo paso. Este es el equivalente digital de un simple filtro analógico R-C. Para la mayoría de las aplicaciones, éstas tendrán mejores características que el filtro de caja que está utilizando. La mayoría de los usos de un filtro de caja que he encontrado son el resultado de alguien que no presta atención en la clase de procesamiento de señal digital, no como resultado de necesitar sus características particulares. Si sólo desea atenuar las altas frecuencias que usted sabe son el ruido, un filtro de un solo paso de paso bajo es mejor. La mejor manera de implementar uno digitalmente en un microcontrolador es generalmente: FILT lt-- FILT FF (NEW-FILT) FILT es una pieza de estado persistente. Esta es la única variable persistente que necesita para calcular este filtro. NUEVO es el nuevo valor que se está actualizando el filtro con esta iteración. FF es la fracción del filtro. Que ajusta la pesadez del filtro. Mire este algoritmo y vea que para FF 0 el filtro es infinitamente pesado ya que la salida nunca cambia. Para FF 1, su realmente ningún filtro en absoluto, ya que la salida sólo sigue la entrada. Los valores útiles están intermedios. En los sistemas pequeños, se selecciona FF para que sea 1/2 N de modo que la multiplicación por FF se pueda realizar como un desplazamiento a la derecha por N bits. Por ejemplo, FF puede ser 1/16 y multiplicar por FF por lo tanto un desplazamiento a la derecha de 4 bits. De lo contrario este filtro sólo necesita un substracto y un agregado, aunque los números generalmente necesitan ser más anchos que el valor de entrada (más en la precisión numérica en una sección separada a continuación). Normalmente tomo lecturas de A / D mucho más rápido de lo que se necesitan y aplico dos de estos filtros en cascada. Este es el equivalente digital de dos filtros R-C en serie, y se atenúa por 12 dB / octava por encima de la frecuencia de rolloff. Sin embargo, para las lecturas de A / D su generalmente más relevante mirar el filtro en el dominio del tiempo considerando su respuesta del paso. Esto le indica cuán rápido su sistema verá un cambio cuando cambie la cosa que está midiendo. Para facilitar el diseño de estos filtros (que sólo significa escoger FF y decidir cuantos de ellos a la cascada), uso mi programa FILTBITS. Se especifica el número de bits de cambio para cada FF en la serie de filtros en cascada y se calcula la respuesta de paso y otros valores. En realidad, por lo general, ejecutar esto a través de mi script wrapper PLOTFILT. Esto ejecuta FILTBITS, que hace un archivo CSV, luego traza el archivo CSV. Por ejemplo, aquí está el resultado de PLOTFILT 4 4: Los dos parámetros de PLOTFILT significan que habrá dos filtros en cascada del tipo descrito anteriormente. Los valores de 4 indican el número de bits de cambio para realizar la multiplicación por FF. Los dos valores FF son por lo tanto 1/16 en este caso. El rastro rojo es la respuesta de la etapa de la unidad, y es la cosa principal a mirar. Por ejemplo, esto le dice que si la entrada cambia instantáneamente, la salida del filtro combinado se establecerá en 90 del nuevo valor en 60 iteraciones. Si te importa el tiempo de solución de 95, entonces usted tiene que esperar alrededor de 73 iteraciones, y por 50 tiempo de solución sólo 26 iteraciones. El rastro verde le muestra la salida de una sola espiga de amplitud completa. Esto le da una idea de la supresión de ruido aleatorio. Parece que ninguna muestra causará más de un cambio de 2.5 en la salida. El rastro azul es dar una sensación subjetiva de lo que este filtro hace con el ruido blanco. Esto no es una prueba rigurosa, ya que no hay garantía de que exactamente el contenido de los números aleatorios elegidos como el ruido blanco de entrada para esta ejecución de PLOTFILT. Es sólo para darle una sensación áspera de cuánto será aplastado y lo suave que es. PLOTFILT, tal vez FILTBITS, y muchas otras cosas útiles, especialmente para el desarrollo de firmware PIC está disponible en la versión de software PIC Development Tools en mi página de descargas de software. Agregado acerca de la precisión numérica veo de los comentarios y ahora una nueva respuesta que hay interés en discutir el número de bits necesarios para implementar este filtro. Tenga en cuenta que la multiplicación por FF creará Log 2 (FF) nuevos bits por debajo del punto binario. En sistemas pequeños, FF se elige generalmente para ser 1/2 N de modo que esta multiplicación se realice realmente por un desplazamiento a la derecha de N bits. FILT es por lo tanto un entero de punto fijo. Tenga en cuenta que esto no cambia ninguna de las matemáticas desde el punto de vista de los procesadores. Por ejemplo, si está filtrando lecturas A / D de 10 bits y N 4 (FF 1/16), entonces necesita 4 bits de fracción por debajo de las lecturas A / D de enteros de 10 bits. Uno de los procesadores más, youd estar haciendo operaciones enteras de 16 bits debido a las lecturas de 10 bits A / D. En este caso, todavía puede hacer exactamente las mismas operaciones enteras de 16 bits, pero comience con las lecturas A / D a la izquierda desplazadas por 4 bits. El procesador no sabe la diferencia y no necesita. Hacer la matemática en todo enteros de 16 bits funciona si usted los considera 12,4 puntos fijos o enteros verdaderos de 16 bits (16,0 puntos fijos). En general, es necesario agregar N bits cada polo de filtro si no desea añadir ruido debido a la representación numérica. En el ejemplo anterior, el segundo filtro de dos tendría que tener 1044 18 bits para no perder información. En la práctica en una máquina de 8 bits que significa youd utilizar valores de 24 bits. Técnicamente sólo el segundo polo de dos necesitaría el valor más amplio, pero para la simplicidad del firmware usualmente utilizo la misma representación, y por lo tanto el mismo código, para todos los polos de un filtro. Normalmente escribo una subrutina o macro para realizar una operación de polo de filtro, y luego aplicarla a cada polo. Si una subrutina o macro depende de si los ciclos o la memoria del programa son más importantes en ese proyecto en particular. De cualquier manera, utilizo un cierto estado del rasguño para pasar NUEVO en la subrutina / macro, que pone al día FILT, pero también las cargas que en el mismo estado del rasguño que NUEVO estaba pulg. Esto hace fácil aplicar múltiples polos puesto que el FILT actualizado de un poste es El NUEVO de la siguiente. Cuando una subrutina, es útil tener un puntero apuntan a FILT en el camino, que se actualiza justo después de FILT a la salida. De esta manera la subrutina opera automáticamente en filtros consecutivos en memoria si se llama varias veces. Con una macro usted no necesita un puntero puesto que usted pasa en la dirección para funcionar en cada iteración. Ejemplos de código Aquí hay un ejemplo de una macro como se describe anteriormente para un PIC 18: Y aquí hay una macro similar para un PIC 24 o dsPIC 30 o 33: Ambos ejemplos se implementan como macros utilizando mi preprocesador de ensamblador PIC. Que es más capaz que cualquiera de las instalaciones macro incorporadas. Clabacchio: Otro problema que debería haber mencionado es la implementación de firmware. Puede escribir una subrutina de filtro de paso bajo de un solo polo una vez, luego aplicarla varias veces. De hecho, por lo general escribo una subrutina de este tipo para tomar un puntero en la memoria al estado del filtro, a continuación, hacer avanzar el puntero para que pueda ser llamado en sucesión fácilmente para realizar filtros multipolares. Ndash Olin Lathrop Apr 20 12 at 15:03 1. Muchas gracias por sus respuestas - todas ellas. Decidí usar este filtro IIR, pero este filtro no se utiliza como un filtro LowPass estándar, ya que necesito valorar los valores promedio de los contadores y compararlos para detectar cambios en un determinado rango. Ya que estos Valores van de dimensiones muy diferentes dependiendo de Hardware que quería tomar un promedio para poder reaccionar a estos cambios específicos de hardware automáticamente. Ndash sensslen May 21 12 at 12:06 Si se puede vivir con la restricción de un poder de dos números de elementos a la media (es decir, 2,4,8,16,32 etc), entonces la división puede ser fácil y eficiente de una manera De bajo rendimiento micro sin división dedicada, ya que se puede hacer como un cambio de bits. Cada turno a la derecha es una potencia de dos por ejemplo: El OP pensó que tenía dos problemas, dividiendo en un PIC16 y la memoria para su amortiguador del anillo. Esta respuesta muestra que la división no es difícil. Es cierto que no aborda el problema de la memoria, pero el sistema SE permite respuestas parciales, y los usuarios pueden tomar algo de cada respuesta por sí mismos, o incluso editar y combinar las respuestas de otros. Dado que algunas de las otras respuestas requieren una operación de división, son igualmente incompletas, ya que no muestran cómo lograr esto de manera eficiente en un PIC16. Ndash Martin Apr 20 12 at 13:01 Hay una respuesta para un verdadero filtro de media móvil (también conocido como filtro de caja) con menos requisitos de memoria, si no te importa el downsampling. Su llamado un filtro integrador-peine en cascada (CIC). La idea es que usted tiene un integrador que tomar las diferencias de más de un período de tiempo, y la clave de ahorro de memoria dispositivo es que mediante el muestreo, no tienes que almacenar todos los valores del integrador. Se puede implementar utilizando el pseudocódigo siguiente: Su longitud media móvil efectiva es decimationFactorstatesize, pero sólo necesita mantener alrededor de las muestras de estado. Obviamente, puede obtener un mejor rendimiento si su stateize y decimationFactor son potencias de 2, de modo que la división y los operadores de resto se sustituye por cambios y máscara-ands. Postscript: Estoy de acuerdo con Olin que siempre debe considerar filtros IIR simple antes de un filtro de media móvil. Si no necesita la frecuencia-nulos de un filtro de vagón, un filtro de paso bajo de 1 o 2 polos probablemente funcione bien. Por otro lado, si está filtrando para fines de decimación (tomando una entrada de alta tasa de muestreo y promediándola para su uso por un proceso de baja velocidad) entonces un filtro de CIC puede ser justo lo que está buscando. (Especialmente si se puede usar statesize1 y evitar el ringbuffer en conjunto con sólo un único valor de integrador anterior) Theres algunos análisis en profundidad de la matemática detrás de la utilización de la primera orden IIR filtro que Olin Lathrop ya ha descrito en el Digital Signal Processing stack exchange (Incluye muchas imágenes bonitas). La ecuación para este filtro IIR es: Esto se puede implementar usando sólo números enteros y sin división usando el siguiente código (podría necesitar un poco de depuración como estaba escribiendo desde la memoria.) Este filtro se aproxima a una media móvil de Los últimos K muestras estableciendo el valor de alfa a 1 / K. Hacer esto en el código precedente definiendo BITS a LOG2 (K), es decir para K 16 fijado BITS a 4, para K 4 fijado BITS a 2, etc. (Mal verificar el código enumerado aquí tan pronto como consiga un cambio y Edite esta respuesta si es necesario.) Respondió Jun 23 12 at 4:04 Heres un filtro de paso bajo de un solo polo (promedio móvil, con frecuencia de corte CutoffFrequency). Muy simple, muy rápido, funciona muy bien, y casi no hay sobrecarga de memoria. Nota: Todas las variables tienen un alcance más allá de la función de filtro, excepto la pasada en newInput Nota: Este es un filtro de una sola etapa. Múltiples etapas se pueden conectar en cascada para aumentar la nitidez del filtro. Si utiliza más de una etapa, tendrá que ajustar DecayFactor (en relación con la frecuencia de corte) para compensar. Y, obviamente, todo lo que necesita son las dos líneas colocadas en cualquier lugar, no necesitan su propia función. Este filtro tiene un tiempo de aceleración antes de que el promedio móvil represente el de la señal de entrada. Si necesita omitir ese tiempo de aceleración, sólo puede inicializar MovingAverage al primer valor de newInput en lugar de 0 y esperar que el primer newInput no sea un outlier. (CutoffFrequency / SampleRate) tiene un intervalo entre 0 y 0,5. DecayFactor es un valor entre 0 y 1, por lo general cerca de 1. Flotadores de precisión simple son lo suficientemente buenos para la mayoría de las cosas, sólo prefiero dobles. Si necesitas pegarte con números enteros, puedes convertir DecayFactor y Factor de Amplitud en enteros fraccionarios, en los que el numerador se almacena como el entero, y el denominador es una potencia entera de 2 (así puedes cambiar a la derecha como el número Denominador en vez de tener que dividir durante el bucle del filtro). Por ejemplo, si DecayFactor 0.99 y desea utilizar números enteros, puede establecer DecayFactor 0.99 65536 64881. Y luego, cada vez que multiplique por DecayFactor en su bucle de filtro, simplemente cambie el resultado 16. Para más información sobre esto, un excelente libro thats En línea, capítulo 19 sobre filtros recursivos: dspguide / ch19.htm PS Para el paradigma de la media móvil, un enfoque diferente para establecer DecayFactor y AmplitudeFactor que puede ser más relevante para sus necesidades, digamos que desea que el anterior, alrededor de 6 elementos promediados juntos, hacerlo discretamente, youd añadir 6 elementos y dividir por 6, por lo que Puede establecer el AmplitudeFactor a 1/6, y DecayFactor a (1.0 - AmplitudeFactor). Respondió May 14 12 at 22:55 Todo el mundo ha comentado a fondo sobre la utilidad de IIR vs FIR, y en la división de poder de dos. La identificación apenas tiene gusto de dar algunos detalles de la puesta en práctica. Lo siguiente funciona bien en pequeños microcontroladores sin FPU. No hay multiplicación, y si mantienes N una potencia de dos, toda la división es de un solo ciclo de desplazamiento de bits. Búfer de anillo FIR básico: guarda un buffer de ejecución de los últimos N valores, y una SUM corriente de todos los valores en el búfer. Cada vez que llega una nueva muestra, resta el valor más antiguo en el buffer de SUM, reemplázalo por el nuevo, añada la nueva muestra a SUM y SUM / N. Búfer de anillo IIR modificado: mantener una SUM corriente de los últimos N valores. Cada vez que llega una nueva muestra, SUM - SUM / N, agregue la nueva muestra, y la salida SUM / N. Si le estoy leyendo bien, usted está describiendo un filtro IIR de primer orden, el valor que está restar es el valor más antiguo que está cayendo, pero es el promedio de los valores anteriores. Los filtros IIR de primer orden pueden sin duda ser útiles, pero no estoy seguro de lo que quiere decir cuando sugiere que la salida es la misma para todas las señales periódicas. A una frecuencia de muestreo de 10KHz, alimentar una onda cuadrada de 100Hz en un filtro de caja de 20 etapas producirá una señal que se eleva uniformemente para 20 muestras, se sienta alto para 30, cae uniformemente para 20 muestras y se sienta bajo para 30. Un primer orden Filtro IIR. Ndash supercat Aug 28 13 a las 15:31 producirá una onda que empieza bruscamente a subir y gradualmente se nivela cerca (pero no en) el máximo de entrada, luego empieza a caer bruscamente y gradualmente se nivela cerca (pero no) del mínimo de entrada. Comportamiento muy diferente. Ndash supercat August 28 13 at 15:32 Un problema es que un simple promedio móvil puede o no ser útil. Con un filtro IIR, puede obtener un filtro agradable con relativamente pocos calcs. La FIR que usted describe sólo puede darle un rectángulo en el tiempo - un sinc en freq - y no puede administrar los lóbulos laterales. Puede ser bien vale la pena para lanzar en un número entero multiplica para que sea una buena sintonía sintonizable FIR si se puede ahorrar las garrapatas del reloj. Ndash Scott Seidman: No hay necesidad de multiplicar si uno simplemente tiene cada etapa de la FIR o la salida de la media de la entrada a esa etapa y su valor almacenado anterior, y luego almacenar la entrada (si se tiene El rango numérico, se podría usar la suma en lugar de la media). Si ese filtro es mejor que un filtro de caja depende de la aplicación (la respuesta de paso de un filtro de caja con un retardo total de 1ms, por ejemplo, tendrá un pico d2 / dt desagradable cuando el cambio de entrada, y 1ms más tarde, pero tendrá El mínimo posible d / dt para un filtro con un retraso total de 1ms). Ndash supercat Como dijo mikeselectricstuff, si realmente necesita reducir sus necesidades de memoria, y no te importa su respuesta al impulso que es un exponencial (en lugar de un pulso rectangular), me gustaría ir para un filtro de media móvil exponencial . Los uso ampliamente. Con ese tipo de filtro, usted no necesita ningún búfer. Usted no tiene que almacenar N muestras pasadas. Solo uno. Por lo tanto, sus requisitos de memoria se redujo por un factor de N. También, no necesita ninguna división para eso. Sólo multiplicaciones. Si tiene acceso a aritmética de punto flotante, use multiplicaciones de coma flotante. De lo contrario, haga multiplicaciones enteras y desplaza hacia la derecha. Sin embargo, estamos en 2012, y te recomiendo que utilices compiladores (y MCUs) que te permitan trabajar con números de coma flotante. Además de ser más eficiente de la memoria y más rápido (usted no tiene que actualizar los elementos en cualquier búfer circular), yo diría que es también más natural. Porque una respuesta de impulso exponencial coincide mejor con la forma en que se comporta la naturaleza, en la mayoría de los casos. Un problema con el filtro IIR como casi tocado por olin y supercat pero aparentemente ignorado por otros es que el redondeo abajo introduce cierta imprecisión (y potencialmente sesgo / truncamiento). Suponiendo que N es una potencia de dos, y sólo se utiliza la aritmética entera, el turno de derecha elimina sistemáticamente los LSB de la nueva muestra. Eso significa que la duración de la serie nunca podría ser, el promedio nunca tendrá en cuenta. Por ejemplo, supongamos una serie que disminuye lentamente (8, 8, 8, 7, 7, 7, 7, 6, 6) y asuma que el promedio es realmente 8 al principio. La muestra del puño 7 llevará la media a 7, independientemente de la resistencia del filtro. Sólo para una muestra. La misma historia para 6, etc. Ahora piensa en lo opuesto. La serie sube. El promedio se mantendrá en 7 para siempre, hasta que la muestra es lo suficientemente grande como para que cambie. Por supuesto, puede corregir el sesgo añadiendo 1 / 2N / 2, pero eso no resolverá realmente el problema de precisión. En ese caso la serie decreciente permanecerá para siempre en 8 hasta que la muestra sea 8-1 / 2 (N / 2). Para N4 por ejemplo, cualquier muestra por encima de cero mantendrá el promedio sin cambios. Creo que una solución para eso implicaría mantener un acumulador de los LSB perdidos. Pero no lo hice lo suficientemente lejos para tener el código listo, y no estoy seguro de que no perjudicaría la potencia IIR en algunos otros casos de series (por ejemplo, si 7,9,7,9 promedio a 8 entonces). Olin, su cascada de dos etapas también necesitaría alguna explicación. ¿Se refiere a la celebración de dos valores medios con el resultado de la primera alimentado en el segundo en cada iteración. ¿Cuál es el beneficio de este procesamiento de señal / Filtros digitales Los filtros digitales son por esencia sistemas muestreados. Las señales de entrada y salida están representadas por muestras con igual distancia de tiempo. Los filtros de respuesta de implante finito (FIR) se caracterizan por una respuesta de tiempo que depende solamente de un número dado de las últimas muestras de la señal de entrada. En otros términos: una vez que la señal de entrada ha caído a cero, la salida del filtro hará lo mismo después de un número dado de períodos de muestreo. La salida y (k) viene dada por una combinación lineal de las últimas muestras de entrada x (k i). Los coeficientes b (i) dan el peso para la combinación. También corresponden a los coeficientes del numerador de la función de transferencia de filtro de dominio z. La figura siguiente muestra un filtro FIR de orden N 1: Para los filtros de fase lineal, los valores de los coeficientes son simétricos alrededor del medio y la línea de retardo puede plegarse alrededor de este punto medio para reducir el número de multiplicaciones. La función de transferencia de los filtros FIR sólo muestra un numerador. Esto corresponde a un filtro cero. Los filtros FIR normalmente requieren pedidos altos, en la magnitud de varios cientos. Por lo tanto, la elección de este tipo de filtros necesitará una gran cantidad de hardware o CPU. A pesar de esto, una razón para elegir una aplicación de filtro FIR es la capacidad de lograr una respuesta de fase lineal, que puede ser un requisito en algunos casos. Sin embargo, el diseñador principal tiene la posibilidad de elegir filtros IIR con una buena linealidad de fases en la banda de paso, como los filtros Bessel. O para diseñar un filtro allpass para corregir la respuesta de fase de un filtro IIR estándar. Moving Average Filters (MA) Los modelos de media móvil (MA) son modelos de proceso en la forma: MA procesos es una representación alternativa de los filtros FIR. Filtros Promedio Editar Un filtro que calcula el promedio de las N últimas muestras de una señal Es la forma más simple de un filtro FIR, con todos los coeficientes iguales. La función de transferencia de un filtro promedio está dada por: La función de transferencia de un filtro promedio tiene N ceros igualmente espaciados a lo largo del eje de frecuencia. Sin embargo, el cero en DC está enmascarado por el polo del filtro. Por lo tanto, hay un lóbulo más grande un DC que da cuenta de la banda de paso del filtro. Filtros integrados en cascada (CIC) Editar Un filtro integrador-peine en cascada (CIC) es una técnica especial para implementar filtros promedio colocados en serie. La colocación en serie de los filtros medios mejora el primer lóbulo en DC comparado con todos los otros lóbulos. Un filtro CIC implementa la función de transferencia de N filtros promedio, calculando cada uno el promedio de muestras R M. Su función de transferencia se da así: Los filtros CIC se utilizan para diezmar el número de muestras de una señal por un factor R o, en otros términos, para remuestrear una señal a una frecuencia más baja, arrojando muestras R 1 fuera de R. El factor M indica cuánto del primer lóbulo es utilizado por la señal. El número de etapas de filtro promedio, N. Indica qué tan bien se amortiguan otras bandas de frecuencia, a expensas de una función de transferencia menos plana alrededor de DC. La estructura de CIC permite implementar todo el sistema con sólo sumadores y registros, sin utilizar multiplicadores que sean codiciosos en términos de hardware. El downsampling por un factor de R permite aumentar la resolución de la señal mediante bits log 2 (R) (R). Filtros canónicos Los filtros canónicos implementan una función de transferencia de filtros con un número de elementos de retardo igual al orden del filtro, un multiplicador por coeficiente de numerador, un multiplicador por coeficiente de denominador y una serie de sumadores. Similarmente a los filtros activos, las estructuras canónicas, este tipo de circuitos mostraron ser muy sensibles a los valores de los elementos: un pequeño cambio en los coeficientes tuvo un gran efecto sobre la función de transferencia. Aquí también, el diseño de los filtros activos se ha desplazado de los filtros canónicos a otras estructuras tales como cadenas de secciones de segundo orden o filtros de salto de altura. Cadena de secciones de segunda orden Editar sección de segunda orden. A menudo referido como biquad. Implementa una función de transferencia de segundo orden. La función de transferencia de un filtro puede dividirse en un producto de funciones de transferencia, cada uno asociado a un par de polos y posiblemente un par de ceros. Si el orden de las funciones de transferencia es impar, entonces se debe añadir una sección de primer orden a la cadena. Esta sección está asociada al polo real y al cero real si lo hay. Directa-forma 1 directa-forma 2 directa-forma 1 transpuesta directa-forma 2 transpuesta La forma directa 2 transpuesta de la siguiente figura es especialmente interesante en términos de hardware necesario, así como la señal y el coeficiente de cuantificación. Filtros de Leapfrog Digital Editar Filtro Estructura Editar Filtros de salto digital basados ​​en la simulación de filtros de salto analógico activo. El incentivo para esta elección es heredar de las excelentes propiedades de sensibilidad de banda de paso del circuito de escalera original. El siguiente filtro paso a paso de paso bajo todo-polo de 4º orden se puede implementar como un circuito digital reemplazando los integradores analógicos con acumuladores. El reemplazo de los integradores analógicos con acumuladores corresponde a simplificar la transformación Z a z 1 s T. Que son los dos primeros términos de la serie de Taylor de z e x p (s T). Esta aproximación es suficientemente buena para los filtros en los que la frecuencia de muestreo es mucho mayor que el ancho de banda de la señal. Transfer Function Edit La representación del espacio de estado del filtro anterior puede escribirse como: A partir de este conjunto de ecuaciones, se pueden escribir las matrices A, B, C, D como: A partir de esta representación, herramientas de procesamiento de señales como Octave o Matlab permiten trazar La respuesta de frecuencia de los filtros o para examinar sus ceros y polos. En el filtro de salto digital, los valores relativos de los coeficientes establecen la forma de la función de transferencia (Butterworth, Chebyshev.), Mientras que sus amplitudes establecen la frecuencia de corte. Dividiendo todos los coeficientes por un factor de dos desplaza la frecuencia de corte por una octava (también un factor de dos). Un caso especial es el Buterworth 3 ª orden filtro que tiene constantes de tiempo con valores relativos de 1, 1/2 y 1. Debido a eso, este filtro puede ser implementado en hardware sin ningún multiplicador, pero utilizando cambios en su lugar. Los modelos de autoregresión (AR) son modelos de procesos en la forma: Donde u (n) es la salida del modelo, x (n) es la entrada del modelo y u (n - m) son anteriores Muestras del valor de salida del modelo. Estos filtros se denominan autoregresivos porque los valores de salida se calculan sobre la base de regresiones de los valores de salida anteriores. Los procesos AR pueden ser representados por un filtro todo-polo. ARMA Filters Editar Autoregressive Moving-Average (ARMA) filtros son combinaciones de AR y MA filtros. La salida del filtro se da como una combinación lineal tanto de la entrada ponderada como de las muestras de salida ponderadas: los procesos ARMA pueden considerarse como un filtro IIR digital, con polos y ceros. Los filtros AR se prefieren en muchos casos porque pueden analizarse usando las ecuaciones de Yule-Walker. Los procesos MA y ARMA, por otra parte, pueden ser analizados por complicadas ecuaciones no lineales que son difíciles de estudiar y modelar. Si tenemos un proceso AR con coeficientes de ponderación a (a vector de a (n), a (n - 1).) Una entrada de x (n). Y una salida de y (n). Podemos usar las ecuaciones del yule-andador. Decimos que x2 es la varianza de la señal de entrada. Tratamos la señal de datos de entrada como una señal aleatoria, aunque sea una señal determinista, porque no sabemos cuál será el valor hasta que lo recibamos. Podemos expresar las ecuaciones de Yule-Walker como: Donde R es la matriz de correlación cruzada de la salida del proceso Y r es la matriz de autocorrelación de la salida del proceso: Variación Edición Podemos demostrar que: Podemos expresar la varianza de la señal de entrada como: , Expandiendo y sustituyendo por r (0). Podemos relacionar la varianza de salida del proceso con la varianza de entrada: